- Misalkan seseorang mendepositokan uang sebesar Rp 10.000.000,- pada suati bank dengan Bungan 11% setahun. Berapa uang orang tersebut setelah 30 tahun?
- Rp 229.822.965,72
- Rp 228.922.870,72
- Rp 228.922.965,72
- Rp229.922.870,72
jawabannya : Rp 228.922.965,72
pembahasan : Suatu relasi rekursif untuk barisan adalah suatu persamaan yang menyatakan bentuk an dalam bentuk satu atau lebih bentuk a sebelumnya, yaitu a0, a1, a2, …, an – 1 , untuk setiap bilangan bulat n dimana n ≥ n0, dimana n0 adalah bilangan bulat tak negative. Suatu rumus barisan dikatakan solusi dari relasi rekursif apabila rumus tersebut memenuhi relasi rekursif tersebut.
- Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi dari :
an + 4 an-1 + 4 an-2 = 2n .
- an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) 1n , an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
- an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
- an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) 1n ,
- an(h) = (A1 nm-1) an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
jawaban : an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) 1n , an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n
pembahasan : Relasi rekurensi homogen :
an + 4 an-1 + 4 an-2 =0.
Persamaan karakteristiknya adalah
2 + 4 + 4 = 0
(+ 2) ( + 2) = 0
hingga diperoleh akar-akar karakteristik
1 = 2 = -2 , m = 2,
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk
an(h) = (A1 nm-1 + A2 nm-2) 1n ,an(h) = (A1 n + A2 ) (-2)n .
- Jika diketahui Hanoi Tower memiliki 5 cakram berapakah langkah paling singkat untuk menyelesaika n permainan tersebut? (Dengan menggunakan rumus (2n – 1) dimana n adalah banyakny cakram).
- 16 cara
- 64 cara
- 32 cara
- 8 cara
jawaban : 32 cara
pembahasan : 5 Cakram = 25 , Jadi jawabannya 25 = 32 (c)
- Diketahui relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Selesaikan untuk suku ke-n!
- 2n
- 4n
- n
- 2
jawaban : 2n
pembahasan : Penyelesaian Dengan iterasi diperoleh:
Sn = 2Sn-1
= 2 (2Sn-2) = 2Pangkat2 Sn-2
= 2pangkat3Sn-3
= ………
= 2nS0
= 2n
- Berapa banyak kah bilangan Fibonacci antara 10 sampai dengan 100?
- 90
- 9
- 5
- 10
jawaban : 5
pembahasan : bahwa bilangan Fibonacci yang terletak antara 10 hingga 100 adalah sebanyak 5 (lima) buah, yaitu suku ke-6 (13), suku ke-7 (21), suku ke-8 (34), suku ke-9 (55), dan suku ke-10 (89). Dengan demikian, jawabannya adalah (C) 5 . (tergantung table)
- Dengan mengambil satu harga n kemudian anda menjumlahkan bilangan-bilangan tsb mulai dari f1 s.d. fn maka berapakah n terkecil agar jumlah itu > 150?
- 9
- 10
- 11
- 15
jawaban : 10
pembahasan : Dapat kita ketahui bahwa nilai n terkecil agar jumlah seluruh bilangan Fibonacci dari f1 hingga fn > 150 adalah sebesar 10 (n=10), yang akan menghasilkan jumlah sebesar 231 (diperoleh dari = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89, yang merupakan bilangan fibonacci dari suku ke-1 hingga suku ke-10). Sehingga, jawaban yang benar adalah (B) 10. (tergantung table)
- Sebut dan jelaskan aplikasi dari pigeon hole !
jawaban :
Aplikasi pada Sains Komputer
Salah satu aplikasi prinsip pigeonhole pada sains komputer adalah pada hash collision. Sebagai informasi, algoritma hash mengubah suatu data apapun ke dalam bentuk data lain. Hal ini dilakukan dengan memproses data tersebut dalam suatu formula matematika kompleks untuk menghasilkan hash unik bagi setiap potongan data. Umumnya, hash yang dihasilkan memiliki bit yang sama untuk setiap algoritma hash yang sama. Menggunakan prinsip pigeonhole, hash collision merupakan hal yang tidak terhindarkan, terlebih jika data yang di hash berukuran
besar. Hal ini dikarenakan hash yang tersedia lebih sedikit daripada potongan data yang diproses. Anggap hash sebagai sarang burung merpati dan potongan data yang diproses sebagai burung merpati. Maka, pasti ada hash yang merepresentasikan lebih dari satu potongan data.
Aplikasi yang kedua adalah pada kompresi data. Kompresi data adalah proses memampatkan suatu data apapun ke dalam bentuk dengan ukuran yang lebih kecil. Dengan prinsip pigeonhole, dapat dibuktikan tidak mungkin ada algoritma kompresi yang dapat selalu berhasil memampatkan data menjadi lebih kecil. Hal ini
dikarenakan ukuran yang lebih kecil berarti bit yang lebih sedikit, sehingga jika hasil kompresi dianalogikan dengan sarang burung merpati, jumlah sarang burung merpati selalu lebih sedikit daripada merpatinya.
Aplikasi pada permasalahan relasi
Prinsip pigeonhole dapat diaplikasikan dalam berbagai permasalahan relasi. Aplikasi prinsip pigeonhole dalam relasi cukup berguna dalam mengaproksimasi kebutuhan minimal yang harus disiapkan dalam hal tertentu. Misalkan suatu perusahaan kereta api mempunyai statistik jumlah pengguna 500 setiap harinya. Jika ada 20 lintasan kereta api yang berbeda, maka berdasarkan prinsip pigeonhole minimal ada 25 pengguna dengan lintasan kereta api yang sama.
Maka dari itu, minimalnya perusahaan kereta api tersebut menyediakan kereta api yang mempunyai daya tampung 25 pengguna untuk setiap jurusan untuk memenuhi kebutuhan minimal tiap lintasan. Namun demikian, dalam prakteknya, prinsip pigeonhole memang tidak dapat diterapkan semudah itu.
Aplikasi dalam permasalahan numerikal
Prinsip pigeonhole mampu menyelesaikan beberapa permasalahan numerikal. Contoh pertama adalah permasalahan divisibilitas. Dengan prinsip pigeonhole, kita mampu membuktikan bahwa pasti ada dua angka dalam n angka yang selisihnya habis dibagi angka n-1 dengan n bilangan bulat positif ≥ 2.
contoh n = sepuluh, sehingga dalam sepuluh angka yang diberikan ada
minimal dua angka dengan selisih habis dibagi sembilan. Sisa dari pembagian suatu angka dengan sembilan juga berjumlah sembilan, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Jika sisa dari pembagian suatu angka dengan sembilan tersebut kita analogikan sebagai sarang burung merpati dan sepuluh angka yang diberikan kita analogikan sebagai merpati, maka dalam sepuluh angka tersebut minimal ada dua angka yang mempunyai sisa yang sama dari pembagian terhadap sembilan. Dua angka inilah yang bila diselisihkan selisihnya akan habis dibagi sembilan.
Aplikasi pada permasalahan geometri
Prinsip pigeonhole dapat digunakan dalam pembuktian masalah-masalah geometri. Aplikasi prinsip pigeonhole pada permasalahan geometri sangat banyak, salah satunya dengan menggunakan perluasan prinsip pigeonhole dengan jumlah
burung merpati tak hingga.
Aplikasi pada trik kartu kombinatorik
Prinsip pigeonhole dapat digunakan dalam trik kartu kombinatorik sebagai berikut: seorang asisten pesulap mengambil lima kartu secara acak dari sebuah set kartu bridge. Sebagai catatan, satu set kartu bridge terdiri dari empat lambang dengan masing-masing lambang terdiri dari 13 kartu. Kemudian, asisten tersebut memilih salah satu kartu sebagai kartu yang disembunyikan dan memperlihatkan sisanya kepada pesulap. Maka, pesulap yang melihat keempat kartu tersebut dapat menentukan lambang dan nilai dari kartu yang disembunyikan.
Pada kelima kartu yang diambil seorang asisten pesulap, berdasarkan prinsip pigeonhole, ada dua atau lebih kartu dengan lambang yang sama. Hal ini dimanfaatkan asisten pesulap untuk memberi tahu pesulap lambang kartu yang
disembunyikan. Hal itu dilakukan dengan menaruh kartu berlambang sama tersebut pada urutan pertama dari kartu yang diperlihatkan.
Pemilihan kartu yang disembunyikan dengan kartu yang diperlihatkan juga mengambil peran penting. Aspek yang diperhatikan dalam pemilihan kartu
yang disembunyikan dan kartu yang diperlihatkan adalah ‘jarak’ kedua kartu tersebut satu sama lain. Jarak kedua kartu didefinisikan sebagai perbedaan nilai yang harus ditambahkan kartu pertama untuk mencapai kartu kedua. Dalam jarak kedua kartu ini, jarak kartu A ke kartu B tidak sama dengan jarak kartu B ke kartu A karena nilai jarak bersifat sirkuler.
Aplikasi pada teori Ramsey
Secara umum, teori Ramsey membahas distribusi subset elemen dalam suatu set elemen. Teori Ramsey merupakan extremal combinatorics yang memberikan jumlah objek jika kumpulan objek tersebut harus memenuhi kondisi tertentu.
- Adakah keterkaitan antara permutasi, kombinasi, dan pigeon hole ?
Jawaban :
Salah satu pokok bahasan matematika adalah permutasi dan kombinasi. Metode permutasi dan kombinasi sering digunakan dalam teori peluang (Probabilitas). Metode permutasi dan kombinasi juga berperan dalam kombinatorika. Misalnya, berapa cara tiga buku yang berbeda dapat disusun diatas rak buku?. Metode permutasi dan kombinasi dapat digunakan untuk mencari bentuk umum dari permutasi dan kombinasi serta metode kombinasi dapat diterapkan dalam teori binomial.
Selain itu pada matematika d juga terdapat pokok bahasan tentang Prinsip Pigeonhole. Prinsip ini seringkali memudahkan dalam membuktikan keberadaan suatu objek dengan karakteristik tertentu dalam suatu tempat. Dengan kata lain prinsip ini akan menjawab suatu pertanyaan yaitu; Adakah n objek dalam tempat atau tunjukkan bahwa terdapat n objek dalam tempat atau soal-soal lain dalam matematika diskrit yang menginginkan jawaban keberadaaan suatu objek dalam tempat. Berdasarkan Prinsip Pigeonhole Jika terdapat m burung merpati menempati n kotak sarangnya, dan m>n, maka sedikitnya satu kotak sarangnya akan dihuni dua atau lebih burung merpati, dimana m dan n bilangan bulat positif
Salah satu perhitungan dalam matematika adalah permutasi dan kombinasi. Metode ini dapat menunjukkan banyaknya suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang berbeda dalam suatu tempat, baik yang dipilih seluruhnya atau sebagian. Selain itu dapat menunjukkan susunan objek yang identik. Dengan demikian, metode ini dapat mencari objek dalam suatu tempat dan dapat menentukan banyaknya objek tersebut. Metode perhitungan ini berguna dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan Prinsip Pigeonhole.
Kelompok 8 :
Fauzan Azima 53413316
Raja Ahmad Namora Sitompul 57413204
Reky Aulia Rachman 57413373
Renate Fernandez 57413383
